Question

10．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得△AB₁C₁，延长B₁C₁交CB的延长线于D，求证：DC₁-DB=B₁C₁．

Answer 1

分析 根据旋转性质得AC=AC₁、BC=B₁C₁、∠C=∠AC₁B₁=∠AC₁D=90°，再证Rt△ACD≌Rt△AC₁D可得DC=DC₁，继而根据B₁C₁=BC=DC-DB即可得证．

解答 证明：如图，连接AD，

由旋转性质可得AC=AC₁、BC=B₁C₁、∠C=∠AC₁B₁=∠AC₁D=90°，
在Rt△ACD和Rt△AC₁D中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=A{C}_{1}}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AC₁D（HL），
∴DC=DC₁，
∵B₁C₁=BC=DC-DB，
∴B₁C₁=DC₁-DB．

点评 本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质及证明两三角形的全等得出DC=DC₁是解题的关键．