Question

15．阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0从而a+b≥2$\sqrt{ab}$（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+$\frac{m}{x}$；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以当x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为9，其中一边长为x，则另一边长为$\frac{9}{x}$，周长为2（x+$\frac{9}{x}$），求当x=3时，周长的最小值为12；
问题2：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），当x为何值时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）利用阅读2的结论直接计算即可，
（2）先化简成阅读2的形式，再用阅读2的结论计算即可．

解答 解：（1）由阅读2，得，当x=$\sqrt{9}$=3时，x+$\frac{9}{x}$的最小值为2$\sqrt{9}$=6，
∴周长为2（x+$\frac{9}{x}$）的最小值为2×6=12，
故答案为3，12；
（2）∵函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+10}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}+9}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
由阅读2得，当x+1=$\sqrt{9}$时，即x=2，函数（x+1）+$\frac{9}{x+1}$有最小值2$\sqrt{9}$=6，
∴x=2时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值为6．

点评 此题是反比例函数在综合题，主要考查了函数的极值的确定方法，解本题的关键是理解和运用阅读中提供的确定极值的方法来解决问题．