Question

6．如图，在△ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上．已知BC=2，S_△ABC=1．设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出PF∥CA，证出△BFP∽△BAC，得出面积比等于相似比的平方，得出S_△BFP=$\frac{{x}^{2}}{4}$，同理：S_△PEC=（$\frac{2-x}{2}$）²，即可得出y与x的函数关系式；
（2）由-$\frac{1}{2}$＜0得出y有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形AFPE是平行四边形，
∴PF∥CA，
∴△BFP∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BFP}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{x}{2}$）²，
∵S_△ABC=1，
∴S_△BFP=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
同理：S_△PEC=（$\frac{2-x}{2}$）²，
∴y=1-$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{4-4x+{x}^{2}}{4}$，
∴y=-$\frac{{x}^{2}}{2}$+x；
（2）上述函数有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$；理由如下：
∵y=-$\frac{{x}^{2}}{2}$+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$＜0，
∴y有最大值，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键．