Question

如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠C＝90°，EG＝4 cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜边上的中点．

如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y(cm²)(不考虑点P与G、F重合的情况)．

(1)当x为何值时，OP∥AC？

(2)求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

(3)是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

(参考数据：114²＝12996，115²＝13225，116²＝13456或4.4²＝19.36，4.5²＝20.25，4.6²＝21.16)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴，． 　　∴FG＝＝3 cm．　　2分 　　∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC． 　　∴x＝＝×3＝1.5(s)． 　　∴当x为1.5 s时，OP∥AC．4分 　　(2)在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5 cm． 　　∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH． 　　∴． 　　∴． 　　∴AH＝(x＋5)，FH＝(x＋5)．　　6分 　　过点O作OD⊥FP，垂足为D． 　　∵点O为EF中点，∴OD＝EG＝2 cm． 　　∵FP＝3－x，∴S四边形OAHP＝S△AFH－S△OFP 　　＝·AH·FH－·OD·FP 　　＝·(x＋5)·(x＋5)－×2×(3－x) 　　＝x2＋x＋3　　7分 　　(0＜x＜3)．　　8分 　　(3)假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24． 　　则S四边形OAHP＝×S△ABC 　　∴x2＋x＋3＝××6×8　　10分 　　∴6x2＋85x－250＝0 　　解得x1＝，x2＝－(舍去)． 　　∵0＜x＜3，∴当x＝(s)时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．　　12分