Question

如图（1），BP，CP分别是△ABC中∠ABC和外角∠ACE的平分线，∠A=100°，
（1）求∠BPC的度数；
（2）如图（2），若BP₁，CP₁分别平分∠PBC，∠PCE，BP₂，CP₂分别平分∠P₁BC，∠P₁CE，BP₃．CP₃分别平分∠P₂BC，∠P₂CE，…BP_n，CP_n，分别平分∠P_n-1BC，∠P_n-1CE，则∠BP₁C=

 

°，∠BP₂C=

 

°，∠BP_nC=

 

°．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：规律型

分析：（1）易求得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，再根据∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，即可求得∠P=

1

2

∠A，即可解题；
（2）根据（1）中求证可以发现∠P=

1

2

∠A，易证∠BP₁C=

1

2

∠BPC，∠BP₂C=

1

2

∠BP₁C，即可发现规律∠BP_nC=

1

2n+1

∠A，即可解题．

解答：解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCE=

1

2

∠ACE，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠PCE=∠P+∠PBC，
∴∠P=

1

2

∠A，
∴∠BPC=50°；
（2）由（1）可得∠P=

1

2

∠A，
同理∠BP₁C=

1

2

∠BPC，
∠BP₂C=

1

2

∠BP₁C，
由此可发现规律∠BP_nC=

1

2n+1

∠A，
故答案为 25，12.5，

100

2n+1

．

点评：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，考查了角平分线的性质，本题中求得∠P=

1

2

∠A是解题的关键．