题目内容

如图1，点A是反比例函数y1=
2
x
（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=
k
x
（k＜0，x＜0）的图象于点B．
（1）若S△AOB=3，则k=
 
；
（2）当k=-8时：
①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；
（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数y2=
k
x
（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）AB交y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOH=
1
2
×2=1，S△BOH=
1
2
|k|，由于S△AOB=3，则1+
1
2
|k|=3，解得k=4或-4，由于k＜0，
所以k=-4；
（2）①先确定A点坐标为（1，2），B点坐标为（-4，2），根据勾股定理计算出OA=
5
，由于
AH
OA
=
OA
AB
=
5
5
，∠HAO=∠OAB，根据相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB，所以∠AOB=∠OHA=90°，
②作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，设M（a，
2
a
），N（b，-
8
b
），则MF=
2
a
，OF=a，OE=-b，NE=-
8
b
，根据旋转的性质得∠MON=90°，易证得Rt△ONE∽Rt△MOF，则
NE
OF
=
OE
MF
=
ON
OM
，即
-
8
b
a
=
-b
2
a
=
ON
OM
，可解得得ab=-4，所以
ON
OM
=
-ab
2
=
4
2
=2，
在Rt△OMN中，利用正切的定义得tan∠NMO=
ON
OM
=2，延长可判断∠OMN的值为定值；
（3）连结OD交AB于P，如图1，设A点坐标为（t，
2
t
），则B点坐标为（
kt
2
，
2
t
），
根据平行四边形的性质得PA=PB，PD=PO，根据线段中点坐标公式得到P点坐标为（
kt+2t
4
，
2
t
），则D点坐标为（
kt+2t
2
，
4
t
），然后把D（
kt+2t
2
，
4
t
）代入y=
k
x
得
kt+2t
2
•
4
t
=k，于是可解得k=-4．
解答：解：（1）AB交y轴于H，如图1，
∵AB∥x轴，
∴S△AOH=
1
2
×2=1，S△BOH=
1
2
|k|，
∵S△AOB=3，
∴1+
1
2
|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为-4；

（2）①把x=1代入y=
2
x
得y=2，
∴A点坐标为（1，2），
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
把y=2代入y=-
8
x
得-
8
x
=2，解得x=-4，
∴B点坐标为（-4，2），
∴AH=1，BH=4，OH=2，
∴OA=
AH2+OH2
=
5
，AB=5
∴
AH
OA
=
OA
AB
=
5
5
，
而∠HAO=∠OAB，
∴△HAO∽△OAB，
∴∠AOB=∠OHA=90°，
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，
2
a
），N（b，-
8
b
），则MF=
2
a
，OF=a，OE=-b，NE=-
8
b
，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴
NE
OF
=
OE
MF
=
ON
OM
，即
-
8
b
a
=
-b
2
a
=
ON
OM
，
∴a2b2=16，
∵ab＜0，
∴ab=-4，
∴
ON
OM
=
-ab
2
=
4
2
=2，
在Rt△OMN中，tan∠NMO=
ON
OM
=2，
∴在旋转的过程中，∠OMN的度数不变化；

（3）连结OD交AB于P，如图1，
设A点坐标为（t，
2
t
），则B点坐标为（
kt
2
，
2
t
），
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴PA=PB，PD=PO，
∴P点坐标为（
kt+2t
4
，
2
t
），
∴D点坐标为（
kt+2t
2
，
4
t
），
把D（
kt+2t
2
，
4
t
）代入y=
k
x
得
kt+2t
2
•
4
t
=k，
∴k=-4．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质；会利用相似比进行计算．
练习册系列答案
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（1）计算：
9
-|-2|+(
π
3
)0；
（2）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式，然后选取一组你喜欢的未知数值代入求值．①x2-4xy+4y2    ②xy-2y2    ③x2-4y2．
±
|-225|
．
计算：|-1|+（
3
-1）0+2sin30°-（
1
2
）-1．
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ax
x-2
=1-
4
2-x
无解，试确定a的值．
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3
）、和x轴交于B、C两点（点C在点B的左侧），且tan∠ABC=
3
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2
，求点B到地面的垂直距离．
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（1）任意翻过一张卡片，能独立成字的概率为
 
；
（2）先任意翻过一张卡片作为左部偏旁，再任意翻过一张与其组合，请用列表或画树状图的方法求翻过的两张卡片恰好能组合成字的概率．
若最简二次根式
a+13b
和
2b-a+2
能合并，那么a=
 
，b=
 
．

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