Question

2．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．
（1）求证：FD²=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要求证：FD²=FB•FC，只要证明△FBD∽△FDC，从而转化为证明∠FDC=∠FBD；
（2）GD与EF垂直，要证DG⊥EF，只要证明∠5+∠1=90°，即转化为证明∠3=∠4即可．

解答 证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点．
∴DE=EA．
∴∠A=∠2．
∵∠1=∠2．
∴∠1=∠A．
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A．
∴∠FDC=∠FBD．
∵∠F是公共角．
∴△FBD∽△FDC．
∴$\frac{FB}{FD}=\frac{FD}{FC}$．
∴FD²=FB•FC；
（2）GD⊥EF，
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC，
∴∠3=∠4，
由（1）得∠4=∠1，
∴∠3=∠1，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠5+∠1=90°，
∴DG⊥EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的根据是掌握在证明线段的积相等可以转化为证明三角形相似，证明两直线垂直转化为证明形成的角是直角．