Question

已知：如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径作圆并交边AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于点F，且CM=2，AB=4．
（1）求⊙A的半径；
（2）联结AF，求弦EF的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,勾股定理,矩形的性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）在RT△ADC中用勾股定理求半径．
（2）过A作AH⊥EF，垂足为H，用勾股定理求出CE，再运用△BEC∽△HEA，求出EH再求弦EF．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=4，
∴∠ADC=90°，AB=CD=4，
∴AC²=AD²+CD²，
∵以A为圆心，AD为半径作圆并交边AC于M，
∴AD=AM，
又∵CM=2，设⊙A的半径为x，
∴（2+x）²=x²+4²
∴x=3，
即：⊙A的半径为3；
（2）过A作AH⊥EF，垂足为H，

∵矩形ABCD，AD=3，
∴∠B=90°，AD=BC=AE=3，
∴BE=4-3=1，CE²=BC²+BE²
∴CE=

10

，
∵∠B=90°，AH⊥EF，
∴∠B=∠AHE=90°，
又∵∠BEC=∠FEA，
∴△BEC∽△HEA．
∴

BE

EH

=

CE

AE

，
∴EH=

3

10

10

，
∵AH⊥EF，且AH过圆心，
∴EF=2EH=

3

5

10

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质及圆的有关知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用相似三角形求线段的长．