题目内容
如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，
,
.
求证：△ABC是“匀称三角形”；
图1
（2）在平面直角坐标系xoy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G, 每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧. 在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由.
解：
解：（1） 如图1，作AC边的中线BD交AC于点D，
∵∠C=90°，BC= 2
，AB = 2
，
∴AC = 
= 4.
∴AD=CD=2.
BD =
= 4
∴AC = BD，
∴ △ABC是“匀称三角形”
（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有 4 个
②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P.
如图，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形.
∵A（3，0），C（2，0），
B（4，0），D（3，0）
∴AC＝1，BD＝1
设PM、PN分别为CA、DB上的中线,
∴AM＝
AC＝ ，
AN＝ BD＝ ,
∴AM＝AN=
∴点A为MN的中点.
∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形”
∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1
∴PM＝PN=1
∴PA⊥MN，即PA与x轴垂直
∵A（3，0）
∴P点横坐标为整数3.
在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝
∴PA＝
∴P（3，
）
所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数.
解法2. 在长方形区域内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P.
如图，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合，P点横坐标为3时
∵A（3，0），P点横坐标为3
∴PA与x轴垂直
∵A（3，0），C（2，0），
B（4，0），D（3，0）
∴AC＝1，BD＝1
设AC中点为M，BD中点为N.
∴AM＝AC＝，AN＝ BD＝
∴AM＝AN
要使△P
AC与△PBD是水平匀称三角形
只需PM＝AC＝1，PN＝BD＝1
∵PA与x轴垂直
在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝
∴PA＝
∴P（3，）
所以，当C点坐标为（2，0），D
点坐标为（3，0）与A重合，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数.
考前必练系列答案
AC.
，
, 
，垂足分别为
、
，联结AC、DF，∠A=∠D.
.
C．2－
D．2－
中，
， 
，
，点
在四边形
的距离为
，则点
