题目内容
如图：人民海关缉私巡逻艇在东海执行巡逻任务时，发现在其所在位置O点的北偏西30°方向40海里的A点有一走私船正向正东方向航行，1小时后，测得走私船在O点的北偏东30°方向的B点．（1）求走私船的速度；
（2）若走私船以同样的速度继续向正东方向航行，而巡逻艇在发现走私船在B点时，即刻沿北偏东45°方向以50海里/小时的速度追赶，问能否追上走私艇？
（3）若巡逻艇在发现走私船在B点时，即刻沿北偏东60°方向航行并追上走私船，问巡逻艇的航行速度至少达到多少海里/小时？
【答案】分析：（1）由据题意得：∠AOD=30°，∠BOD=30°，易证得△AOB是等边三角形，即可求得AB=40海里，继而可求得走私船的速度；
（2）首先设过t小时，在C处追上走私艇，易得△COD是等腰直角三角形，则可得CD=OD，则可求得BC的长，继而求得追上走私艇所用时间；
（3）首先设过t小时，在C处追上走私艇，由解直角三角形的知识，可求得BC的长，即可求得走私艇到达点C的时间，继而求得巡逻艇的航行速度．
解答：解：（1）如图，根据题意得：∠AOD=30°，∠BOD=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠A=∠OBA=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=40（海里），
∴40÷1=40（海里/时），
∴走私船的速度为40海里/时；
（2）能．
设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=45°，
∴OD=CD，
在Rt△OAD中，OD=AD•cos30°=40×
=20
（海里），BD=
AB=20（海里），
∴CD=OD=20
海里，
∴BC=CD-BD=20
-20（海里），
∴40t=20
-20，
解得：t=
，
∴经过
小时，追上走私艇；
（3）设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=60°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD=2×20
=40
（海里），CD=OD•tan60°=
OD=60（海里），
∴BC=CD-BD=60-20=40（海里），
∴40t=40，
解得：t=1，
∴40
÷1=40
（海里/时）．
∴巡逻艇的航行速度至少达到40
海里/小时．
点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形并借助于解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
（2）首先设过t小时，在C处追上走私艇，易得△COD是等腰直角三角形，则可得CD=OD，则可求得BC的长，继而求得追上走私艇所用时间；
（3）首先设过t小时，在C处追上走私艇，由解直角三角形的知识，可求得BC的长，即可求得走私艇到达点C的时间，继而求得巡逻艇的航行速度．
解答：解：（1）如图，根据题意得：∠AOD=30°，∠BOD=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠A=∠OBA=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=40（海里），
∴40÷1=40（海里/时），
∴走私船的速度为40海里/时；
（2）能．
设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=45°，
∴OD=CD，
在Rt△OAD中，OD=AD•cos30°=40×
=20（海里），BD=AB=20（海里），∴CD=OD=20
海里，∴BC=CD-BD=20
-20（海里），∴40t=20
-20，解得：t=
，∴经过
小时，追上走私艇；（3）设过t小时，在C处追上走私艇，
∴BC=40t海里，OC=50t海里，
∵∠COD=60°，
∴∠C=30°，
∴OC=2OD=2×20
=40（海里），CD=OD•tan60°=OD=60（海里），∴BC=CD-BD=60-20=40（海里），
∴40t=40，
解得：t=1，
∴40
÷1=40（海里/时）．∴巡逻艇的航行速度至少达到40
海里/小时．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形并借助于解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
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海里/时的速度向正东方向航行，为了迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以20海里/时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：
如图：人民海关缉私巡逻艇在东海执行巡逻任务时，发现在其所在位置O点的北偏西30°方向40海里的A点有一走私船正向正东方向航行，1小时后，测得走私船在O点的北偏东30°方向的B点．