Question

9．如图放置的正方形ABCD，正方形DCC₁D₁，正方形D₁C₁C₂D₂，…都是边长为$\sqrt{3}$的正方形，点A在y轴上，点B，C，C₁，C₂，…，都在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，则D的坐标是（$\sqrt{3}$，1+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），D_n的坐标是（$\sqrt{3}$（n+1），$\frac{3（n+1）+4\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根据直线OB的解析式以及AB的长度可找出点A的坐标，进而可得出直线AD的解析式，设点D的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）（m＞0），由AD=2即可找出点D的坐标，同理，可找出点D_n的坐标，此题得解．

解答 解：∵点B在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，
∴∠AOB=60°．
∵AB=2，AB⊥OB，
∴OA=2OB，
∴OA²=OB²+AB²，
∴OA=2OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∵AD∥BC，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
设点D的坐标为（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）（m＞0），
∵AD=2，
∴$\sqrt{（m-0）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}m+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=2，
解得：m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$（舍去），
∴点D的坐标为（$\sqrt{3}$，1+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
同理，可得出点D_n的坐标为（$\sqrt{3}$+n$\sqrt{3}$，1+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+n），即（$\sqrt{3}$（n+1），$\frac{3（n+1）+4\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：（$\sqrt{3}$，1+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；（$\sqrt{3}$（n+1），$\frac{3（n+1）+4\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标、正方形的性质以及解直角三角形，利用正方形的性质找出直线AD的解析式是解题的关键．