Question

1．如图：已知一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且点C（4，m）在一次函数y=$\frac{3}{4}$x+3的图象上，CD⊥x轴于点D．
（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如果点E在线段AC上，且$\frac{AE}{BC}$=$\frac{2}{3}$，求E点的坐标；
（3）如果点P在x轴上，那么当△APC与△ABD相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把C点坐标代入y=$\frac{3}{4}$x+3可求出m的值，把x=0，y=0分别代入一次函数解析式中，可得点B，A的坐标；
（2）过E点作EF垂直x轴，再利用相似三角形的性质进行解答即可；
（3）根据分类讨论思想分析解答即可．

解答 解：（1）把x=0，代入一次函数的解析式中，
可得：y=3，
所以点B的坐标是（0，3）；
把y=0代入一次函数的解析式中，
可得：x=-4，
所以点A的坐标是（-4，0），
把x=4代入一次函数的解析式中，
可得：y=6，
所以m的值是6；

（2）过E点作EF垂直x轴与F点，过C点作CD⊥x轴，如图1，
∴△AEF∽△ACD，
∵$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$，
∵根据题意得：EF∥CD，且AD=8，CD=6，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{CD}$，
∴$EF=\frac{12}{5}$，
∴E点的坐标为$（-\frac{4}{5}，\frac{12}{5}）$

（3）当点P在OA的延长线上时，∠BAD＞∠APC，∠BAD＞∠ACP，且∠BAD＜∠PAC，
当点P在如图2的位置上时，则△APC∽△ABD，
$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB}$，则$AP=\frac{25}{4}$，${P}_{1}=（\frac{9}{4}，0）$
当点P在如图3的位置上时，则△APC∽△ABD，
$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AB}$，
则AP=16，
则P₂=（12，0），

综上所述：符合条件的点P的坐标是${P}_{1}（\frac{9}{4}，0）{P}_{2}（12，0）$．

点评 本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用，第（3）问中只有相似没有对应，所以要进行分类讨论是解题的关键．