Question

4．在△ABC中，AD是△ABC的中线，$\frac{AP}{AD}$=$\frac{2}{3}$，求证：P是△ABC的重心．

Answer 1

分析 延长CP交AB于E，作BF∥CE交AD的延长线于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由BF∥CP得到$\frac{DF}{DP}$=$\frac{BD}{CD}$=1，即DF=DP，根据比例性质，由$\frac{AP}{AD}$=$\frac{2}{3}$得到AP=2PD，则AP=PF，接着由PE∥BF得到$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AP}{PF}$=1，即AE=BE，然后根据重心的定义即可得到结论．

解答 证明：延长CP交AB于E，作BF∥CE交AD的延长线于F，如图，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵BF∥CP，
∴$\frac{DF}{DP}$=$\frac{BD}{CD}$=1，即DF=DP，
∵$\frac{AP}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴AP=2PD，
∴AP=PF，
∵PE∥BF，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AP}{PF}$=1，即AE=BE，
∴CE为△ABC的中线，
∴P是△ABC的重心．

点评 本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了平行线分线段成比例定理．