Question

10．（1）如图1所示，若P为等边△ABC内一点，∠BPC=150°，△BPP′是等边三角形，求证：PC²+PB²=PA²；
（2）如图2所示，点P为等边△ABC外一点，∠BPC=30°，问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说出PC，PB，PA的数量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）首先证明△PBC≌△P′BA，推出△APP′是直角三角形，利用勾股定理即可证明．
（2）结论仍然成立．证明方法类似．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC，△PBP′都是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBP′=∠BP′P=60°，AB=BC，PB=BP′=PP′，
∴∠PBC=∠P′BA，
在△PBC和△P′BA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠PBC=∠P′BA}\\{PB=P′B}\end{array}\right.$
∴△PBC≌△P′BA，
∴∠BP′A=∠BPC=150°，PC=P′A，
∴∠AP′P=90°，
∴AP²=AP′²+PP′²，∵AP′=PC，PP′=PB，
∴PA²=PB²+PC²．

（2）结论仍然成立．
理由如下：如图2中，

∵△ABC，△PBP′都是等边三角形，
∴∠ABC=∠PBP′=∠BP′P=60°，AB=BC，PB=BP′=PP′，
∴∠PBC=∠P′BA，
在△PBC和△P′BA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠PBC=∠P′BA}\\{PB=P′B}\end{array}\right.$
∴△PBC≌△P′BA，
∴∠BP′A=∠BPC=300°，PC=P′A，
∴∠AP′P=∠PP′B+∠AP′B=90°，
∴AP²=AP′²+PP′²，∵AP′=PC，PP′=PB，
∴PA²=PB²⁺PC²．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质．勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，灵活利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．