Question

已知实数a、b、c满足方程组

a+b=8 ab-c2+8 2 c=48

，求证：a=b．

Answer 1

分析：由a+b及ab根据韦达定理构造一元二次方程，再由判别式非负，构造不等式，知必有c=4

2

，且△=0，所以方程有两个等根，即a=b．

解答：解：∵实数a、b、c满足方程组

a+b=8 ab-c2+8 2 c=48

，
∴a+b=8，ab=c²-8

2

c+48，
由韦达定理构造一元二次方程x²-8x+c²-8

2

c+48=0，
△=（-8）²-4（c²-8

2

c+48）=-4（c²-8

2

c+32）=-4（c-4

2

^）2≥0，
则c=4

2

，且△=0，
所以方程有两个等根，即a=b．

点评：考查了根与系数的关系，根的判别式．本题还可以消去一个变量，得到的是一个含有两个变量的方程，此方程恰好可以配成这两个变量的完全平方式，则可以分别求出这两个变量的值，从而证得a=b=4．