题目内容
十名篮球运动员身穿1至10号的球衣围成一个圆圈．证明一定存在三个相邻的队员，它们的球衣号码数加起来一定大于17．
分析：首先假设所有相邻的三个数，它们的和都小于17，则它们的和小于等于16，由10个数的和的最值比较，得出矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确．
解答：解：设球员的球衣号分别是a1，a2，…a10，全部球衣号码之和是A，则三个相邻的球衣号加起来就是：
A=（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a10+a1+a2）
A=3×（a1+a2+••+a10）=3×（1+2+3+…+10）=165，
假定不存在三个队员号码加起来大于17，则相邻三个队员的号码加起来≤16，
所以A≤16+16+••+16=16×10=160，矛盾可证．
故一定存在三个相邻的队员，它们球衣号码加起来大于17．
A=（a1+a2+a3）+（a2+a3+a4）+…+（a10+a1+a2）
A=3×（a1+a2+••+a10）=3×（1+2+3+…+10）=165，
假定不存在三个队员号码加起来大于17，则相邻三个队员的号码加起来≤16，
所以A≤16+16+••+16=16×10=160，矛盾可证．
故一定存在三个相邻的队员，它们球衣号码加起来大于17．
点评：本题考查推理与论证，难度比较大，解答本题的关键是运用反证法进行证明，这是本题的突破口．
练习册系列答案
相关题目