Question

5．如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若已知x轴上一点N（$\frac{3}{2}$，0），则在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△CNQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将已知抛物线解析式转化为两点式或顶点式方程，即可求得A、B、C三点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）假设存在满足条件的点Q．设Q（1，m）．CN²=3²+（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{45}{4}$，CQ²=1²+（3-m）²=m²-6m+10．NQ²=（$\frac{3}{2}$-1）²+m²=$\frac{1}{4}$+m²．
分类讨论：①当点C是直角顶点、②当点N为直角顶点、③当点Q为直角顶点三种情况，利用勾股定理列出关于m的方程，并求得m的值即可．

解答 解：（1）由y=-x²+2x+3得到：y=-（x+1）（x-3），或y=-（x-1）²+4，
则A（-1，0），B（3，0），对称轴是x=1．
令x=0，则y=3，
所以C（0，3），
综上所述，A（-1，0），B（3，0），C（0，3），对称轴是x=1．

（2）假设存在满足条件的点Q．
设Q（1，m）．
又（0，3），
∴CN²=3²+（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{45}{4}$，CQ²=1²+（3-m）²=m²-6m+10．NQ²=（$\frac{3}{2}$-1）²+m²=$\frac{1}{4}$+m²．
①当点C是直角顶点时，则CN²+CQ²=NQ²，即$\frac{45}{4}$+m²-6m+10=$\frac{1}{4}$+m²．
解得m=$\frac{7}{2}$，
此时点Q的坐标是（1，$\frac{7}{2}$）；
②当点N为直角顶点时，CN²+NQ²=CQ²，即$\frac{45}{4}$+$\frac{1}{4}$+m²=m²-6m+10
解得m=-$\frac{1}{4}$，
此时点Q的坐标是（1，-$\frac{1}{4}$）；
③当点Q为直角顶点时，CQ²+NQ²=CN²，即$\frac{45}{4}$=$\frac{1}{4}$+m²+m²-6m+10
解得m=$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$或m=$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$，
此时点Q的坐标是（1，$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$）或（1，$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（1，$\frac{7}{2}$）或（1，-$\frac{1}{4}$）或（1，$\frac{3+\sqrt{11}}{2}$）或（1，$\frac{3-\sqrt{11}}{2}$）．

点评 此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，二次函数解析式的三种形式，勾股定理以及两点间的距离公式．注意分类讨论数学思想的应用．