题目内容
已知二次函数y=mx2+nx+2图象的顶点横坐标是
，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线BC于N，交这个抛物线于M，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
| 3 |
| 2 |
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线BC于N，交这个抛物线于M，求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：压轴题
分析：（1）令x=0求出点C的坐标，设OA=a，根据二次函数的对称性表示出OB，然后根据△AOC和△COB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出a，然后求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出MN，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分CM、CN是对角线时，点D在y轴上求出OD的长，然后写出点D的坐标即可，求出MN的中点的坐标，再根据平行四边形的中心对称性求出MN是对角线时的点D的坐标．
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出MN，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，分CM、CN是对角线时，点D在y轴上求出OD的长，然后写出点D的坐标即可，求出MN的中点的坐标，再根据平行四边形的中心对称性求出MN是对角线时的点D的坐标．
解答：解：（1）令x=0，则y=2，
∴点C坐标为（0，2），OC=2，
设OA=a，∵顶点横坐标是
，
∴OB=（
+a）+
=a+3，
∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴
=
，
即
=
，
整理得，a2+3a-4=0，
解得a1=1，a2=-4（舍去），
a+3=1+3=4，
∴点A（-1，0），B（4，0），
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+2；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
，
解得
，
∴直线BC的解析式为y=-
x+2，
由题意得，点M、N的横坐标都是t，
∴MN=-
t2+
t+2-（-
t+2）=-
t2+2t=-
（t-2）2+2，
∵a=-
＜0，
∴当t=2时，MN有最大值，最大值为2；
（3）当t=2时，M（2，3），N（2，1），
∴MN=3-1=2，
当CM是平行四边形对角线时，CD=MN=2，
∴OD=2+2=4，
点D的坐标为（0，4），
当CN是平行四边形的对角线时，CD=MD=2，
∴OD=2-2=0，
点D与点O重合，坐标为（0，0），
当MN是平行四边形的对角线时，MN的中点坐标为（2，2），
设点D的坐标为（x，y），
则
=2，
=2，
解得x=4，y=2，
∴点D的坐标为（4，2），
综上所述，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，点D的坐标为（0，4）或（0，0）或（4，2）．
∴点C坐标为（0，2），OC=2，
设OA=a，∵顶点横坐标是
| 3 |
| 2 |
∴OB=（
| 3 |
| 2 |
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∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴
| OA |
| OC |
| OC |
| OB |
即
| a |
| 2 |
| 2 |
| a+3 |
整理得，a2+3a-4=0，
解得a1=1，a2=-4（舍去），
a+3=1+3=4，
∴点A（-1，0），B（4，0），
∴
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=-
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（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
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解得
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∴直线BC的解析式为y=-
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由题意得，点M、N的横坐标都是t，
∴MN=-
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∵a=-
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∴当t=2时，MN有最大值，最大值为2；
（3）当t=2时，M（2，3），N（2，1），
∴MN=3-1=2，
当CM是平行四边形对角线时，CD=MN=2，
∴OD=2+2=4，
点D的坐标为（0，4），
当CN是平行四边形的对角线时，CD=MD=2，
∴OD=2-2=0，
点D与点O重合，坐标为（0，0），
当MN是平行四边形的对角线时，MN的中点坐标为（2，2），
设点D的坐标为（x，y），
则
| 0+x |
| 2 |
| 2+y |
| 2 |
解得x=4，y=2，
∴点D的坐标为（4，2），
综上所述，以C、M、N、D为顶点作平行四边形，点D的坐标为（0，4）或（0，0）或（4，2）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，平行四边形的中心对称性，难点在于（3）根据三角形的三边为平行四边形对角线分情况讨论．
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