Question

3．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点，判断下列结论正确还是错误，并说理由．
（1）四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，则菱形BFDE的面积是矩形ABCD的面积的$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠ABD=∠CDB，再根据折叠的性质得∠EBD=$\frac{1}{2}∠$ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}∠$CDB，则∠EBD=∠FDB，所以BE∥FD，于是可判断四边形BFDE是平行四边形；根据菱形的性质得BE=DE，∠FBD=∠EBD，则可计算出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，设BE=BF=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AE=$\frac{1}{2}$x，AB=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，然后计算出菱形和矩形的面积可对（2）进行判断．

解答 解：（1）、（2）都正确．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
∵△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}∠$ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}∠$CDB，
∴∠EBD=∠FDB，
∴BE∥FD，
而DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，所以（1）正确；
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE=DE，∠FBD=∠EBD，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
设BE=BF=x，
在Rt△ABE中，AE=$\frac{1}{2}$x，AB=$\sqrt{3}$AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AD=AE+DE=$\frac{1}{2}$x+x=$\frac{3}{2}$x，
∴菱形BFDE的面积=AB•DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
矩形ABCD的面积=AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x•$\frac{3}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x²，
∴菱形BFDE的面积：矩形ABCD的面积=2：3，所以（2）正确．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质．