Question

如图，△ABC，AB=AC=10，BC=12，点D在边BC，且BD=4，以点D为顶点作∠EDF=∠B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F
（1）设AE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式；
（2）若以点C为圆心CF长为半径的⊙C，以点A为圆心AE长为半径的⊙A，当两圆相切时，求BE的长；
（3）当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，判定此时AC与DF是否垂直，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）通过证△EBD∽△DCF得到比例式

BE

DC

=

BD

CF

，即

10-x

8

=

4

y

．故y关于x的函数解析式为y=

32

10-x

（0≤x＜10）；
（2）需要分类讨论：分外切和内切两种情况考虑．求BE的长关键弄清圆与圆位置关系、线与线位置关系，再运用圆心距与半径关系容易解答；
（3）如图3，取边AC中点O，过点O分别作OG⊥DE，OQ⊥BC，垂足分别为G、Q．过点A作AH⊥BC，垂足为H．
通过证Rt△OGD≌Rt△DQO（HL）得到∠GOD=∠QDO．则OG∥BC．所以∠EDB=∠OGD=90°；然后利用（1）中的△EBD∽△DCF的对应角相等推知∠EDB=∠DFC=90°．所以AC与DF垂直成立．

解答：解：（1）∵AB=AC=10，AE=x，CF=y，
∴BE=10-x
∵BD=4，BC=12，
∴DC=8 
在△EBD和△DCF中，∵∠EDC=∠B+∠BED，∠EDC=EDF+FDC，∠EDF=∠B，
∴∠BED=∠FDC，∠B=∠C
∴△EBD∽△DCF
∴

BE

DC

=

BD

CF

∴

10-x

8

=

4

y

∴y关于x的函数解析式为y=

32

10-x

（0≤x＜10）；

（2）分外切和内切两种情况考虑：
如图1，当⊙C和⊙A外切时，点F在线段AC上，且AE=AF
∵AB=AC
∴BE=CF
 由（1）得

BE

DC

=

BD

CF

∴BE²=BD•CD=32
∴BE=4

2

；
同理，当⊙C和⊙A内切时，点F在线段CA的延长线上，且AE=AF
∵AB=AC
∴BE=AB-AE，CF=AC+AF
由（1）得

BE

DC

=

BD

CF

∴

10-AE

8

=

4

10+AE

∴AE=2

17

或AE=-2

17

综上所述：当⊙C和⊙A相切时，BE的长为4

2

或10-2

17

；

（3）如图2，取边AC中点O，过点O分别作OG⊥DE，OQ⊥BC，垂足分别为G、Q．过点A作AH⊥BC，垂足为H．
∵⊙O与线段DE相切，
∴OG=

1

2

AC=5．
在Rt△CAH中，∠AHC=90°，cosC=

3

5

在Rt△CQO中，∠CQO=90°，cosC=

CQ

CO

=

3

5

∴CQ=3，DQ=8-3=5
∴OG=DQ．
∵在Rt△OGD与Rt△DQO中，

OG=DQ OD=DO

，
∴Rt△OGD≌Rt△DQO（HL），
∴∠GOD=∠QDO．
∴OG∥BC．
∴∠EDB=∠OGD=90°，
由（1）得△EBD∽△DCF
∴∠EDB=∠DFC=90°
∴AC与DF垂直成立．

点评：此题考查相似三角形的判定和性质及圆与圆的位置关系．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解．