Question

如图，直线y=

3

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x+2交x轴于A，交y轴于B．
（1）求A、B的坐标．
（2）若△ABC是正三角形，求C点的坐标．
（3）在（2）的条件下，P在x轴上，且△PAB的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据直线y=

3

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x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点令x、y分别为0，即可求出A、B两点的坐标；
（2）在Rt△ABO中，根据勾股定理求出AB的长，故可得出tan∠BAO的值，可得出∠BAO的度数，然后分两种情况讨论即可求得；、
（3）根据（2）即可求得三角形ABC的面积，设出P的坐标，即可表示出PA的长，△PAB的面积与△ABC的面积相等，列出方程，解方程即可求得；

解答：解：（1）∵直线y=

3

3

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
令y=0，则

3

3

x+2=0，解得x=-2

3

，
∴A（-2

3

，0），
令x=0，则y=2，
∴B（0，2）；
（2）∵A（-2

3

，0），B（0，2），
∴OA=2

3

，OB=2，
在Rt△ABO中，AB=

OA2+OB2

=4
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠BAO=30°
又∵△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4，∠BAC=60°，
当C点在x轴的上方时，∠OAC=90°
∴CA∥OB，
∴C点坐标为（-2

3

，4）；
当C点在x轴的下方时，∠OAC=30°
∴C点和B点关于x轴对称，
∴C点的坐标为（0，-2）；
（3）由（2）可知S_△ABC=2S_△AOB=2×

1

2

OA•OB=2

3

×2=4

3

，
∵P在x轴上，
∴设P（m，0），
∴PA=|m+2

3

|，
∴S_△PAB=

1

2

PA•OB=

1

2

×2×|m+2

3

|=|m+2

3

|，
∵△PAB的面积与△ABC的面积相等，
∴|m+2

3

|=4

3

，
∴m=2

3

或m=-6

3

，
∴P点的坐标为（2

3

，0）或（-6

3

，0）．

点评：本题考查超了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的面积等知识，难度适中．