Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△AOB的斜边OB在x上，顶点A的坐标为（3，3）．
（1）求直线OA的解析式；
（2）如图2，如果点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PC∥y轴，交直线OA于点C，设点P的坐标为（m，0），以A、C、P、B为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）如图3，如果点D（2，a）在直线AB上．过点O、D作直线OD，交直线PC于点E，在CE的右侧作矩形CGFE，其中CG=

3

2

，请你直接写出矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线OM的解析式为y=kx，k≠0，根据A（3，3）在直线OA上，得到y=x．
（2）过点A作AM⊥x轴于点M．已知A点的坐标，即可求出M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m），欲求以A、C、P、B为顶点的四边形的面积，需要分成两种情况考虑：①0＜m＜3时，②3＜m＜6时，③m＞6时，根据上述3种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式；
（4）根据等腰直角三角形和等腰三角形的性质，即可求出m的范围．

解答：解：（1）设直线OA的解析式为y=kx．
∵直线OA经过点A（3，3），
∴3=3k，解得 k=1．
∴直线OA的解析式为y=x．
（2）过点A作AM⊥x轴于点M．
∴M（3，0），B（6，0），P（m，0），C（m，m）．
当0＜m＜3时，如图①．
S=S_△AOB-S_△COP
=

1

2

AM•OB-

1

2

OP•PC
=

1

2

×6×3-

1

2

m•m=9-

1

2

m2．


当3＜m＜6时，如图②．
S=S_△COB-S_△AOP
=

1

2

PC•OB-

1

2

OP•AM
=

1

2

×6×m-

1

2

m•3=3m-

3

2

m=

3

2

m．
当m＞6时，如图③．
S=S_△COP-S_△AOB
=

1

2

PC•OP-

1

2

OB•AM
=

1

2

m•m-

1

2

×6×3=

1

2

m2-9．

（3）当C在直线OA上，G在直线AB上时，矩形CGFE与△AOB重叠部分为轴对称图形，此时m=

9

4

，
当m=3时C点和A点重合，则矩形CGFE与△AOB无重叠部分
所以m的取值范围时

9

4

≤m＜3．

点评：本题主要考查对矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，用待定系数法求正比例函数的解析式等知识点的理解和掌握，能利用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，综合性强．