Question

2．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，求证：BD∥EF．

Answer 1

分析 利用菱形的性质得AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF，再由∠BAF=∠DAE得到∠BAE=∠DAF，则可根据“ASA”判断△ABE≌△ADF，所以BE=DF，则CE=CF，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和证明∠1=∠3，从而利用平行线的判定方法可得到BD∥EF．

解答 证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∴∠3=∠4，
∴∠3=$\frac{1}{2}$（180°-∠C），
∵CB=CD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=$\frac{1}{2}$（180°-∠C），
∴∠1=∠3，
∴BD∥EF．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．