Question

11．如图，已知⊙O₁与⊙O₂交于点A、B，CD是两圆的外公切线，切点为C、D，直线BC与AD、BD与AC分别交于点E、F，求证：$\frac{EA}{AF}$=$\frac{FB}{BE}$．

Answer 1

分析 由弦切角定理可得∠GDA=∠DBA，∠GCA=∠CBA，根据三角形内角和定理可证到∠CBD+∠CAD=180°，再根据对顶角相等就可得到∠CBD+∠EAF=180°，推出A，F，B，E四点共圆，由∠GDA=∠DBA可证到△DGA∽△BGD，从而可得GD²=GA•GB，同理GC²=GA•GB，从而得到GD=GC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接AB并延长交CD于G，
∵直线CD分别切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，
∴由弦切角定理可得：∠GDB=∠DAB，∠GCB=∠CAB．
∵∠CBD+∠GCB+∠GDB=180°，
∴∠CBD+∠CAB+∠DAB=180°．
∴∠CBD+∠CAD=180°．
∵∠CBD=∠EBF，
∴∠EBF+∠CAD=180°，
∴A，F，B，E四点共圆，
∴∠CFD=∠CAB，∠DEC=∠CAD，
∴∠CFB=∠DEB，
∵∠GDB=∠DAB，∠BGD=∠DGA，
∴△DGB∽△AGD．
∴$\frac{GD}{GA}$=$\frac{GB}{GD}$．
∴GD²=GA•GB．
同理可得：GC²=GA•GB．
∴GD=GC，
∵△DGA∽△BGD，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{BG}{DG}$．
同理可得：$\frac{BC}{AC}=\frac{BG}{CG}$，
∵GD=GC，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
∵△BCF∽△ACE，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{BC}{AC}$，同理$\frac{BE}{AF}=\frac{BD}{AD}$，
∴$\frac{EA}{AF}$=$\frac{FB}{BE}$．

点评 本题考查了弦切角定理、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识，而运用相似三角形的性质是解决本题的关键．