Question

17．如图，平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），在B、C 两点各有一个平面镜，其中在B点的平面镜沿x轴方向，从P点发射两条光线PA、PB，反射光线BD经A点和反射光线CD相交．
（1）若a、b、c满足（2a+b-2）²+|b+c-1|=-（c-2）²，求△ABC的面积；
（2）若两条入射光线PA、PB的夹角（∠BPC）为28°，要想让两条反射光线BD、CD的夹角（∠BDC）为38°，求平面镜MN与x轴夹角的度数是多少度．

Answer 1

分析 （1）由偶次方及绝对值的非负性即可得出关于a、b、c的三元一次方程，解方程即可求出a、b、c的值，进而可得出点A、B、C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）根据对顶角相等结合三角形内角和为180°即可得出28°+∠PBA=38°+∠DCA，设∠DCA=x，∠NCH=y，则∠PBA=x+10°，再根据镜面反射性质结合三角形外角性质即可得出关于y的一元一次方程，解方程即可求出y的值，此题得解．

解答 解：（1）∵（2a+b-1）²+|b+c-1|=-（c-2）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b-2=0}\\{b+c-1=0}\\{c-2=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=-1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴A、B、C三点的坐标为A（0，$\frac{3}{2}$）、B（-1，0）、C（2，0）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AO=$\frac{1}{2}$（|-1|+2）×$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$；
（2）∵∠PAB=∠DAC，
∴∠P+∠PBA=∠D+∠DCA，即：28°+∠PBA=38°+∠DCA，
设∠DCA=x，∠NCH=y，则∠PBA=x+10°，
由镜面反射性质可知：∠ABC=∠PBG=$\frac{1}{2}$（180°-∠PBA）=90°-$\frac{1}{2}$（x+10°），
∠DCN=∠PCM=$\frac{1}{2}$（180°-∠DCA）=90°-$\frac{1}{2}$x．
由三角形外角定理可知：∠DCH=∠DCN+∠NCH=∠ABC+∠D，
即：90°-$\frac{1}{2}$x+y=90°-$\frac{1}{2}$（x+10°）+38°，
解得：y=33°，
∴平面镜MN与x轴夹角的度数是33度．

点评 本题考查了坐标与图形性质、偶次方及绝对值的非负性、解三元一次方程组以及三角形的面积，本题属于基础题，难度不大，解题的关键是：（1）根据偶次方及绝对值的非负性得出关于a、b、c的三元一次方程；（2）根据镜面反射即角的计算找出关于y的一元一次方程．