Question

10．已知，M是等边△ABC边BC上的点．
（1）如图1，过点M作MN∥AC，且交AB于点N，求证：BM=BN；
（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H，过H作HD⊥BC于点D．
①求证：MA=MH；  
②猜想写出BC、CM、CD之间的数量关系式，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，在根据等角对等边可得MB=BN；
（2）①过M点作MN∥AC交AB于N，然后证明△AMN≌△MHC，再根据全等三角形的性质可得MA=MH；②过M点作MG⊥AB于G，再证明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因为BM=2CD可得BC=MC+2CD．

解答 （1）证明：如图1，∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①证明：如图2，过M点作MN∥AC交AB于N，则BM=BN，∠ANM=120°，
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACD的平分线，
∴∠ACH=60°=∠HCD，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANM=∠MCH}\\{AN=MC}\\{∠HMC=∠MAN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△MHC（ASA），
∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
证明：如图2，过M作MG⊥AB于G，
∵HD⊥BC，
∴∠HDC=∠MGB=90°，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
在△BMG和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠HCD}\\{∠MGB=∠HDC}\\{HC=MB}\end{array}\right.$，
∴△BMG≌△CHD（AAS），
∴CD=BG，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
∴BM=2CD，
∴BC=MC+2CD．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和等边三角形，解题时注意：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．