Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，再延长BG交DC于点F．
（1）求证：A、G、D三点在以点E为圆心，EA的长为半径的圆上；
（2）若AD=

3

AB，求

DC

DF

的值；
（3）若

DC

DF

=k，求

AD

AB

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据轴对称的性质就可以得出AE=ED=EG，就可以得出结论；
（2）连接EF，就可以得出△EGF≌△EDF，就有GF=DF，设AB=a，DF=b就可以得出BF的值，在Rt△BCF中由勾股定理就可以求出结论；
（3）由（2）知，GF=DF．设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y，进而可以表示出CF、BF，在Rt△BCF中由勾股定理建立等式就可以求出结论．

解答：（1）证明：∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=EG，
∴AE=DE=EG，
∴三点A、G、D在以点E为圆心，EA的长为半径的圆上；
（2）解：连接EF，
∵∠EGF=∠D=90°，
∴△EGF和△EDF是直角三角形．
在Rt△EGF和Rt△EDF中

EG=ED EF=EF

，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF
设AB=a，DF=b，且AD=

3

AB，
∴BC=

3

a，CF=DC-DF=a-b．
∵BG=AB=a，
∴BF=BG+GF=a+b．
在Rt△BCF中，
∵BC²+CF²=BF²，
∴(

3

a)2+(a-b)2=(a+b)2，
∴3a=4b，
∴

a

b

=

4

3

，
∴

DC

DF

=

a

b

=

4

3

；

（3）解：∵GF=DF．设DF=x，BC=y，
∴GF=x，AD=y．
∵

DC

DF

=k，
∴DC=k•DF，
∴DC=AB=BG=kx．
∵CF=DC-DF=kx-x，
∴CF=（k-1）x，BF=BG+GF=（k+1）x．
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
∴y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²．
∴y=2x

k

，
∴

AD

AB

=

y

kx

=

2 k

k

．

点评：本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，三点共圆的判定方法的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，解答时运用勾股定理建立等式求解是关键．