Question

19．正六边形的内切圆的半径为r，求这个正六边形的面积．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长，由S_正六边形=6S_△OBC求得结果即可．

解答 解：如图所示：
连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=$\frac{1}{6}$×360°=60°，
∵OB=0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
∴BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r，
∴S_正六边形=6S_△OBC=6×$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r×r=2$\sqrt{3}$r²．

点评 此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数．此题难度适中，熟练掌握正六边形面积的计算方法是解决问题的关键．