Question

18．如图所示，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设⊙O的半径为4cm，MN=4$\sqrt{3}$cm，则∠ACM的度数是（　　）

• A． 45°
• B． 50°
• C． 55°
• D． 60°

Answer 1

分析 连接OM，作OD⊥MN于D．根据垂径定理和勾股定理求解；根据直角三角形的边求得∠M的度数．再根据垂径定理的推论发现OM⊥AB，即可解决问题．

解答 解：连接OM，过点O作OD⊥MN于点D，
∵点M是弧AB的中点，
∴OM⊥AB，
∵MN=4$\sqrt{3}$cm，
由垂径定理，得MD=$\frac{1}{2}$MN=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ODM中，OM=4，MD=2$\sqrt{3}$，
∴OD=2，
∵M为弧AB中点，OM过点O，
∴AB⊥OM，
∴∠MPC=90°，
∵cos∠OMD=$\frac{MD}{OM}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OMD=30°，
∵OM⊥AB，
∴∠ACM=60°．
故选D．

点评 本题主要考查了垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．