Question

13．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边AD上，且AE：ED=1：2．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为4．

Answer 1

分析 如图，当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．求出KG的长即可解决问题．

解答 解：如图，

当P与A重合时，点F与K重合，此时点M在H处，当点P与B重合时，点F与G重合，点M在N处，点M的运动轨迹是线段HN．
在Rt△AEB中，AE=2，AB=4，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△AEB∽△EBG，
∴$\frac{BE}{BG}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴BG=$\frac{2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}{2}$=10，
∵BK=AE=2，
∴KG=BG-BK=8，
∴MN=$\frac{1}{2}$KG=4，
∴点M的运动路径的长为 4．
故答案为 4．

点评 本题考查轨迹、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．