Question

如图，Rt△ADE≌Rt△BEC，∠A=∠B=90°，使A、E、B在  同一直线上，连结CD．
（1）求证：∠1=∠2=45°
（2）若AD=3，AB=7，请求出△ECD的面积．
（3）若P为CD的中点，连结PA、PB．试判断△APB的形状，并证明之．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由全等三角形的性质就可以得出DE=EC，∠DEC=90°，就可以得出结论；
（2）由全等三角形的性质就可以得出AD=BE，AE=BC，由勾股定理就可以求出ED的值而得出结论；
（3）连结PE，由等腰直角三角形的性质就可以得出PD=PC=PE，就可以得出△ADP≌△BEP，进而结论．

解答：解：（1）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，DE=EC，AD=BE，AE=BC，∠AED=∠BCE．
∴∠1=∠2．
∵∠DAE=∠ABC=90°，
∴∠3+∠AED=90°，
∴∠4+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠1=∠2=45°；
（2）∵AD=3，AB=7，
∴AE=4．
在Rt△AED中，由勾股定理，得
DE=5，
∴EC=5，
∴S_△CED=

5×5

2

=12.5；
（3）△APB为等腰直角三角形，
连结PE，
∵P是CD的中点，
∴PD=PC=

1

2

CD．
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴∠5=

1

2

∠DEC，∠EPD=90°，PE=

1

2

CD．
∴∠5=45°．PE=PD．
∴∠5=∠1．
∴∠5+∠4=∠1+∠3，
∴∠PEB=∠PDA．
在△BEP和△ADP中，

BE=AD ∠PEB=∠PDA PE=PD

，
∴△BEP≌△ADP（SAS），
∴PA=PB，∠APD=∠BPE．
∵∠APD+∠APE=90°，
∴∠BPE+∠APE=90°，
∴∠APB=90°．
∵PA=PB，
∴△APB为等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，等腰直角三角形的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．