Question

如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．

Answer 1

考点：切线的判定,等边三角形的性质,解直角三角形

专题：几何综合题

分析：（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=

1

2

CD=3，所以AF=AC-CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=

1

2

BD=3，DH=

3

BH=3

3

．解Rt△AFG，得AG=

1

2

AF=

9

2

，则GH=AB-AG-BH=

9

2

，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=

GH

DH

=

3

2

，则tan∠FGD可求．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD=CD=6．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=

1

2

CD=3，
∴AF=AC-CF=12-3=9，
在Rt△AFG中，∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=9×

3

2

=

9 3

2

；

（3）解：过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=

1

2

BD=3，DH=

3

BH=3

3

．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=

1

2

AF=

9

2

，
∵GH=AB-AG-BH=12-

9

2

-3=

9

2

，
∴tan∠GDH=

GH

DH

=

9 2

3 3

=

3

2

，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=

3

2

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．