Question

7．如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．△ABC与△DEF重叠部分的面积为（　　）cm²．

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=$\frac{1}{2}$BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=2$\sqrt{3}$；在Rt△CPM中计算出PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=2$\sqrt{3}$，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2$\sqrt{3}$，则在Rt△FMN中可计算出MN=$\frac{1}{2}$FM=3-$\sqrt{3}$，FN=$\sqrt{3}$MN=3$\sqrt{3}$-3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S_△FPH-S_△FMN进行计算即可．

解答 解：如图，
∵点P为斜边BC的中点，
∴PB=PC=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，∠PMC=60°，
∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
而FM=PF-PM=6-2$\sqrt{3}$，
在Rt△FMN中，∵∠F=30°，
∴MN=$\frac{1}{2}$FM=3-$\sqrt{3}$，
∴FN=$\sqrt{3}$MN=3$\sqrt{3}$-3，
∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S_△FPH-S_△FMN
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{3}$）（3$\sqrt{3}$-3）
=9（cm²）．
故选：B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．