Question

已知：抛物线C₁：y=-

3

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（x+4）²+3向右平移4个单位后得到抛物线C₂．
（1）写出抛物线C₂的函数解析式；
（2）如果抛物线C₂交x轴于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于点P，联结PB，求线段PB的长；
（3）另有一条与抛物线C₂不同的抛物线C₃，它经过点B，顶点为Q，对称轴与x轴交于点D，且以Q，D，B为顶点的三角形与以P，O，B为顶点的三角形全等，请求出满足条件的顶点Q的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据向右平移横坐标加求出平移后的顶点坐标，然后写出解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出点B的坐标，再令x=0求出与y轴的交点坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）求出OB、OP的长，然后分BD和OB，BD和OP是对应边，根据全等三角形对应边相等求出BD、DQ，再求出OD，然后分别写出点Q的坐标即可．

解答：解：（1）抛物线C₁的顶点坐标为（-4，3），
∵向右平移4个单位后得到抛物线C₂，
∴抛物线C₂的顶点坐标为（0，3），
∴抛物线C₂的函数解析式为y=-

3

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x²+3；

（2）令y=0，则-

3

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x²+3=0，
解得x=±4，
∵点A在点B的左边，
∴B（4，0），
令x=0，则y=3，
∴点P的坐标为（0，3），
由勾股定理得，PB=

OB2+OP2

=

42+32

=5；

（3）∵B（4，0），P（0，3），
∴OB=4，OP=3，
①BD和OB时，△BOP≌△BDQ，
所以BD=BO=4，DQ=OP=3，
若点D在点B的左边，则点D与点O重合，
∵抛物线C₂不同的抛物线C₃，
∴点Q（0，-3），
若点D在点B的右边，则OD=4+4=8，
点Q的坐标为（8，3）或（8，-3），
②BD和OP是对应边时，△BOP≌△QDB，
所以，BD=OP=3，DQ=OB=4，
若点D在点B的左边，则OD=OB-BD=4-3=1，
所以，点Q的坐标为（1，4）或（1，-4），
若点D在点B的右边，则OD=OB+BD=4+3=7，
点Q的坐标为（7，4）或（7，-4），
综上所述，点Q的坐标为（0，-3）或（8，3）或（8，-3）或（1，4）或（1，-4）或（7，4）或（7，-4）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象与几何变换，抛物线与x轴的交点问题，全等三角形的对应边相等的性质，难点在于（3）根据全等三角形对应边相等分情况讨论．