Question

19．已知?ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根，当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．

Answer 1

分析 由题意可知：AB、AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$=0的两个实数根，也就是方程有两个相等的实数根，利用根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m²-4（$\frac{m}{2}$-$\frac{1}{4}$）=0，
整理得：（m-1）²=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x₁=x₂=0.5．
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5．

点评 此题考查了菱形的性质；与一元二次方程根的判别式，利用解一元二次方程得到菱形的边长是解决本题的关键．