Question

19．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线AF交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若CA⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证△AFE≌△DBE即可得出答案；
（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FEA=∠BED}\\{AE=DE}\end{array}\right.$
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∴AF=DC；

（2）四边形ADCF是菱形，
证明：AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．