Question

8．如图，一个边长为8cm的等边△ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点B，⊙O与AB相交于点D，求BD的长．

Answer 1

分析 过点A作AF⊥BC，垂足为F，连接OB，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍．已知边长为8cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即O=2$\sqrt{3}$又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FB的长，利用垂径定理即可得出BD的长．

解答 解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，连接OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
在Rt△ABF中，AB=8，∠ABC=60°，
∴AF=AB•sin60°=8×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
又∵△ABC的高与⊙O的直径相等，
∴⊙O的直径为4$\sqrt{3}$，
∴OB=2$\sqrt{3}$，
又∵⊙O与BC相切于点B，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA=30°，
过点O作OE⊥BD，垂足为E，
∴BD=2BE，
在Rt△OBE中，OB=2$\sqrt{3}$，∠OBA=30°，
∴BE=OB•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=3，
∴BD=6（cm）．

点评 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．