Question

20．某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

次数n	2	1
速度x	40	60
指数Q	420	100

（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x=70，Q=450时，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设W=k₁x²+k₂nx，则Q=W+100=k₁x²+k₂nx+100，根据表格中的数据利用待定系数法即可得出结论；
（2）将x=70，Q=450代入（1）的关系式中求出n值即可；
（3）代入n=3，再利用二次函数的性质解决最值问题；
（4）假设存在，代入n=2，x=40，依据“在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420”，得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）设W=k₁x²+k₂nx，则Q=W+100=k₁x²+k₂nx+100．
由表中数据，得$\left\{\begin{array}{l}{420=4{0}^{2}{k}_{1}+2×40{k}_{2}+100}\\{100=6{0}^{2}{k}_{1}+1×60{k}_{2}+100}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{10}}\\{{k}_{2}=6}\end{array}\right.$，
∴Q=-$\frac{1}{10}$x²+6nx+100．
（2）由题意得：450=-$\frac{1}{10}$×70²+6×70n+100，
解得：n=2．
（3）当n=3时，Q=-$\frac{1}{10}$x²+18x+100，
∵a=-$\frac{1}{10}$＜0，
∴当Q取最大值时，x=-$\frac{18}{2×（-\frac{1}{10}）}$=90．
答：若n=3，要使Q最大，x的值为90．
（4）假设能，由题意得：
420=-$\frac{1}{10}$[40（1-m%）]²+6×2（1+m%）×40（1-m%）+100，
即2（m%）²-m%=0，
解得：m%=$\frac{1}{2}$，或m%=0（舍去），
故：设n=2，x=40，能在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，此时m的值为50．

点评 本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数关系式；（2）代入x=70，Q=450求n值；（3）根据二次函数的性质解决最值问题；（4）根据数量关系得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据表格中给定数据利用待定系数法求出函数关系式是关键．