Question

1．问题探究：
（1）如图1，大正方形ABCD与小正方形EFGH的对称中心重合于点O，若E、F、G、H均在大正方形ABCD的对角线上，连结EB、FC，容易发现EB=FC，请你说明理由．
（2）如图2，若将小正方形EFGH绕点O旋转任意角度得到图2，猜想此时线段BE与CF的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若将（2）问中的大正方形ABCD与小正方形EFGH分别改为大菱形ABCD与小菱形EFGH，且∠ABC=∠FEH=60°，其他条件不变，请问（2）问中的结论还成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请求出BE与CF之间的数量关系；若菱形的内角∠ABC=∠FEH=α，请直接写出BE与CF之间的数量关系（用含a的式子表示出来）．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=CB，∠BAC=∠CBD=45°，OA=OB，OE=OD，根据线段的和差得到AE=BF，推出△ABE≌△BCF，于是得到结论；
（2）如图2，连接OE，OF，根据正方形的性质得到OE=OF，OB=OC，∠EOF=∠BOC=∠AOB=90°，由角的和差得到∠EOB=∠FOC，推出△BOE≌△COF，即可得到结论；
（3）如图3，连接OE，OF，由菱形的性质得到∠EOF=∠AOB=∠BOC=90°，根据角的和差证得∠EOB=∠FOC，由菱形的性质得到∠FEO=∠OBC=30°，于是得到tan∠FEO=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得$\frac{OF}{OE}=\frac{OC}{OB}$，推出△BOE∽△COF，即可得到$\frac{CF}{BE}$的值，当∠ABC=∠FEH=α，由菱形的性质得到∠FEO=∠OBC=$\frac{1}{2}α$，根据三角函数正切的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD与四边形EFGH是正方形，
∴AB=CB，∠BAC=∠CBD=45°，OA=OB，OE=OD，
∴AE=BF，
在△ABE与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAC=∠CBD}\\{AE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；

（2）如图2，连接OE，OF，
∵四边形ABCD与四边形EFGH是正方形，
∴OE=OF，OB=OC，∠EOF=∠BOC=∠AOB=90°，
∴∠EOM=∠FON，
∴∠EOB=∠FOC，
在△BEO与△COF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠BOE=∠COF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF，
∴BE=CF；

（3）如图3，连接OE，OF，
∵四边形ABCD与四边形EFGH是菱形，
∴∠EOF=∠AOB=∠BOC=90°，
∴∠EOA=∠FOB，
∴∠EOB=∠FOC，
∵∠ABC=∠FEH=60°，
∴∠FEO=∠OBC=30°，
∴tan∠FEO=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{OF}{OE}=\frac{OC}{OB}$，
∴△BOE∽△COF，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{OF}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
当∠ABC=∠FEH=α，
∴∠FEO=∠OBC=$\frac{1}{2}α$，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{OF}{OE}$=tan$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．