Question

如图，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：

①AD=BF； ②BF=AF； ③AC+CD=AB，④AB=BF；⑤AD=2BE．

其中正确的结论有 ．（填写番号）

Answer 1

①③⑤

【解析】

试题分析：根据∠ACB=90°，BF⊥AE，得出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，推出∠F=∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD=AB，求出∠F+∠FBC≠90°，和已知矛盾，即可判断③④，证根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE=EF，即可判断⑤．

【解析】
∵∠ACB=90°，BF⊥AE，

∴∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，

∴∠F+∠FBC=90°，∠BDE+∠FBC=90°，

∴∠F=∠BDE，

∵∠BDE=∠ADC，

∴∠F=∠ADC，

∵AC=BC，

∴△BCF≌△ACD，

∴AD=BF，∴①正确；②错误；

∵△BCF≌△ACD，

∴CD=CF，

∴AC+CD=AF，

假如AC+CD=AB，

∴AB=AF，∴∠F=∠FBA=65°，

∴∠FBC=65°﹣45°=20°，

∴∠F+∠FBC≠90°，∴③错误；④错误；

由△BCF≌△ACD，

∴AD=BF，

∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，

∴∠BEA=∠FEA=90°，∠BAE=∠FAE，

∵AE=AE，∴△BEA≌△FEA，

∴BE=EF，

∴⑤正确；

故答案为：①③⑤．