如图.二次函数y=ax2+bx+c与y轴交于点A和B.其中点A的坐标为.对称轴x=1与抛物线交于点D.与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式,(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点.是否存在点F使四边形ABFC的面积为17.若存在.求出点F的坐标,若不存在.请说明理由,(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P.与抛物线相交于点Q.若以D.E.P.Q为顶点的四边形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点A和B，其中点A的坐标为（-2，0），对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

分析（1）待定系数法求之即可；
（2）设出点F的横坐标，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示，然后等于17，解方程即可；
（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）点C（0，4）和点A（-2，0），且对称轴为x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴所以抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）；

（2）设F点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），三角形ABF的面积为S₁，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），
∴B（4，0），
∴AB=6；
∴S△ABF=$\frac{1}{2}$×AB×|yF|=$\frac{1}{2}$×6×|-$\frac{1}{2}$m²+m+4|=17，
即：|$\frac{3}{2}$m²-3m-12|=17，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{183}}{3}$或x=$\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，
∴满足要求的F点的坐标为：（ $\frac{3+\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）、（ $\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）；

（3）∵当x=1时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=$\frac{9}{2}$，即D（1，$\frac{9}{2}$）
当x=1时，-x+4=3，即E（1，3），
DE=$\frac{9}{2}$-3=

．
AC的解析式为y=-x+4，
设Q点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+4），P（m，-m+4），
QP的长为|（-$\frac{1}{2}$m²+m+4）-（-m+4）|=|-$\frac{1}{2}$m²+2m|．
由PQ∥DE，PQ=DE，得
|-$\frac{1}{2}$m²+2m|=

．
-$\frac{1}{2}$m²+2m=

，或）-$\frac{1}{2}$m²+2m=-

，
解得m₁=1舍，m₂=3，m₃=2+$\sqrt{7}$，m₄=2-$\sqrt{7}$．
P点坐标为（3，1）（2+$\sqrt{7}$，2-$\sqrt{7}$）（2-$\sqrt{7}$，2+$\sqrt{7}$）．

点评本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的坐标表示、解一元二次方程、平行四边形的判定等知识点，有一定综合性，难度适中．需要强调的是，将竖直方向上的线段长度或距离、水平方向上的长度或距离用坐标之差表示，对于解决坐标系中的动态几何计算问题有重要作用，要引起高度重视，本题的第（2）问与第（3）问都用到了这一方法．