Question

9．由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．请利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，PQ=4$\sqrt{2}$． 
（1）连结OP，证明△OPH为等腰直角三角形；
（2）若点C，D在⊙O上，且$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$，连结CD，求证：OP∥CD．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质求出PH，再根据勾股定理求出OH，得出PH=OH，再根据 PH⊥MN，即可得出△OPH为等腰直角三角形；
（2）连结OQ，根据$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$，得出OQ⊥CD，再根据△OPH为等腰直角三角形得出OP⊥OQ，从而得出OP∥CD．

解答 （1）解：∵MN为直径，PQ⊥MN，PQ=4$\sqrt{2}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$PQ=2$\sqrt{2}$，
∵MN=8，
∴OP=$\frac{1}{2}$MN=4，
∴OH=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴PH=OH，
∵PH⊥MN，
∴△OPH为等腰直角三角形；

（2）证明：连结OQ，OQ交CD于A，
∵$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$，
∴OQ⊥CD，
∵△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
∵OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∴OP∥CD．

点评 此题考查了圆的综合题：用到的知识点是垂径定理、等腰直角三角形、勾股定理、圆心角、弧、弦之间的关系、线段垂直平分线的性质；能够灵活应用性质与定理进行解答是本题的关键．