Question

14．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB边的中线CE的延长线交等边△ABD的边AD于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ACBF是矩形；
（2）如图②，作图①中CD的垂直平分线GH，交AD、BD于点G，H，若BC=2，求DG．

Answer 1

分析 （1）根据对角线相等的平行四边形即可证明；
（2）由△DOG∽△DAC，可得$\frac{DG}{CD}$=$\frac{OD}{AD}$，求出CD，AD即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BEC=∠AEF=60°，
∴△EFA是等边三角形，
∴BE=AE=EF=EC，
∴四边形ACBF是平行四边形，∵CF=AB，
∴四边形ACBF是矩形．

（2）如图2中，设CD交GH于O．

在Rt△ACD中，∵AC=2$\sqrt{3}$，AD=AB=BD=4，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵∠DOG=∠DAC=90°，∠ODG=∠ADC，
∴△DOG∽△DAC，
∴$\frac{DG}{CD}$=$\frac{OD}{AD}$，
∴$\frac{DG}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴DG=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查矩形的判定和性质、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题．