Question

（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．延长BG交DC于点F，证明GF=DF；根据上述证明过程中所添加的辅助线，找出两两相似的三个三角形（全等除外），并给出证明过程；
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC=nDF，猜想的值，直接写出结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接EF，则AE=EG，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，则GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，从而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）由△EDF∽△BAE，得出=，根据四边形ABCD为矩形，可得出的值；
（3）由△EDF∽△BAE，得=，根据DC=nDF，四边形ABCD为矩形，=，则=．
解答：解：（1）连接EF，
∵Rt△BAE≌△BGE，
∴AE=EG，
∵AE=ED，
∴EG=ED，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠EGF=∠A=∠D=90°，
∵EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
∴∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，
∴∠BEF=90°，∠DEF+∠AEB=90°，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠A=∠D=∠BEF，
∵∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠DFE=∠AEB=∠EFB，
∴△EDF∽△BAE∽△BEF；

（2）∵△EDF∽△BAE，
∴=，
∵DC=2DF，四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴=，
∴=2，
∴=；

（3）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n•DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x，
∴．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及翻折的性质，难度较大．