Question

在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为

 

°．
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为

 

°．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为

 

°．
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：压轴题,探究型

分析：（1）①由△ABC与△APE均为正三角形得出相等的角与边，即可得出△ABP≌△ACE．
②由△ABP≌△ACE，得出∠ACE=∠B=60°，即可得出∠ECM的度数．
（2）①作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△ACE，利用角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．
②作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△PNE，得出角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．
（3）过E作EK∥CD，交BM于点K，由正多边形的性质可得出△ABP≌△PKE，利用角及边的关系，得出CK=KE，即△EKC是等腰三角形，根据多边形的内角即可求出∠ECM的度数．

解答：解：（1）①证明：如图1，

∵△ABC与△APE均为正三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 
即∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，

AB=AC ∠BAP=∠CAE AP=AE

，
∴△ABP≌△ACE （SAS）．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∠ECM=180°-60°-60°=60°．
故答案为：60．
（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N

∵四边形ABCD和APEF均为正方形，
∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，
∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B=∠ENP ∠BAP=∠NPE AP=PE

，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠ECM=∠CEN=45°
②如图3，作EN∥CD交BM于点N，

∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，
∴AP=PE，∠B=∠BCD，
∵EN∥CD，
∴∠PNE=∠BCD，
∴∠B=∠PNE
∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°-∠B，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B=∠ENP ∠BAP=∠NPE AP=PE

，
∴△ABP≌△PNE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠NCE=∠NEC，
∵∠CNE=∠BCD=108°，
∴∠ECM=∠CEN=

1

2

（180°-∠CNE）=

1

2

×（180°-108°）=36°．
 故答案为：45，36．
（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，

∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，
∴AB=BC    AP=PE
∠ABC=∠BCD=∠APE=

(n-2).180°

n

∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK
∴∠BAP=∠KPE
∵EK∥CD，
∴∠BCD=∠PKE
∴∠ABP=∠PKE，
在△ABP和△PKE中，

∠ABP=∠PKE ∠BAP=∠KPE AP=PE

，
∴△ABP≌△PKE（AAS）
∴BP=EK，AB=PK，
∴BC=PK，
∴BC-PC=PK-PC，
∴BP=CK，
∴CK=KE，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠CKE=∠BCD=

(n-2).180°

n

∴∠ECK=

1

2

[180°-

(n-2).180 °

n

]=

180°

n

．

点评：本题主要考查了四边形综合题，涉及三角形全等的判定及性质，正多边形的内角及等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等求出对应边相等．