Question

2．我们知道，任意两个连续的正整数的积一定能被2整除，任意三个连续的正整数的积一定能被6整除，那么，任意五个连续的正整数的积一定能被哪一个正整数整除呢？以此为依据你认为：当n为大于2的整数时，n⁵-5n³+4n能否被120整除？为什么？

Answer 1

分析 把所给的等式利用因式分解写成乘积的形式：n⁵-5n³+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）．因为n-2、n-1、n、n+1、n+2是连续的五个正整数，所以其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，一个是4的倍数、一个是5的倍数，可知n⁵-5n³+4n=（n-2）（n-1）n（n+1）（n+2）一定是120的倍数，所以最大约数为120．

解答 解：连续5个整数，必然有一个能被5整除，必然有一个能被2整除，还有另一个能被4整除，必然有一个能被3整除，即2×3×4×5=120，所以，任意五个连续的正整数的积一定能被120整除．
∵n⁵-5n³+4n=n（n⁴-5n²+4）
=n（n²-1）（n²-4）
=n（n-1）（n+1）（n-2）（n+2）
=（n+2）（n+1）n（n-1）（n-2），
∴n⁵-5n³+4n能被120整除．

点评 本题主要考查了进行简单的合情推理，涉及多项式的因式分解和运用综合法证明问题，属于中档题．