Question

1．如图，已知某商标图案是一个长为2cm的黄金矩形，且点E、F分别是长与宽的黄金分割点，（CE＞BE，CF＞DF），请判断△AEF的形状．

Answer 1

分析 根据黄金比值求出AB、BE、EC、CF，根据全等三角形的判定定理证明△ABE≌△ECF，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的判定定理解答即可．

解答 解：∵四边形ABCD是长为2cm的黄金矩形，
∴AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=$\sqrt{5}$-1，
∵点E是BC的黄金分割点，
∴EC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=$\sqrt{5}$-1，BE=2-（$\sqrt{5}$-1）=3-$\sqrt{5}$，
∵点F是CD的黄金分割点，
∴CF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×（$\sqrt{5}$-1）=3-$\sqrt{5}$，
在△ABE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EC}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECF，
∴EA=EF，∠AEB=∠EFC，又∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查的是黄金分割的概念、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握黄金分割的概念、黄金比值是解题的关键．