Question

5．如图①，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．要求仅用无刻度的直尺，在图中画出∠BAC的平分线．小明的正确作法如图②：连结PO并延长交$\widehat{BC}$于点D，连结AD，则AD为所求．请你证明上述作法．

Answer 1

分析 先根据切线的性质得PO⊥l，再根据平行线的性质得PO⊥BC，于是根据垂径定理得到$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，则根据圆周角定理可得∠BAD=∠DAC．

解答 证明：∵l切⊙O于点P，
∴PO⊥l，
∵l∥BC，
∴PO⊥BC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BAD=∠DAC，
∴AD平分∠BAC．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．