Question

4．解分式方程：$\frac{3x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$-$\frac{2\sqrt{{x}^{2}-1}}{x}$=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据换元法，可得方程的解．

解答 解：设$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=t，原方程为
3t-$\frac{2}{t}$=$\frac{5}{2}$，
6t²-5t-4=0
解得t₁=$\frac{4}{3}$，t₂=-$\frac{1}{2}$，
当t=$\frac{4}{3}$时，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$\frac{4}{3}$，平方，得
$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{16}{9}$，解得x₁=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，x₂=-$\frac{4\sqrt{7}}{7}$（不符合题意，舍）；
当t=-$\frac{1}{2}$时，$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=-$\frac{1}{2}$，
平方，得
$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$，方程无解，
综上所述：原方程的解为x=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了解分式方程，换元法是解题关键，注意不符合题意的解要舍掉．