Question

12．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=α，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2，则此时旋转角为2α（用含的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图2，利用互余得到∠BAC=90°-α，再根据旋转的性质得∠ACD等于旋转角，CD=CA，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACD=2α；
（2）过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，通过证明△CBN≌△CEM得到BN=EM，然后根据三角形的面积公式可判断S_△BCD=S_△ACE．

解答 解：（1）如图2，
∵∠C=90°，∠ABC=∠DEC=α，
∴∠BAC=90°-α，
∵△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，
∴∠ACD等于旋转角，CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=90°-α，
∴∠ACD=180°-2（90°-α）=2α；
即旋转角为2α；
故答案为2α；
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠EMC}\\{∠1=∠2}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△CBN≌△CEM，
∴BN=EM，
∵S_△BDC=$\frac{1}{2}$•CD•BN，S_△ACE=$\frac{1}{2}$•AC•EM，
∵CD=AC，
∴S_△BCD=S_△ACE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．利用全等三角形的知识证明BN=EM是解决（2）小题的关键．